SAT 선형·지수 관계, 표의 차이와 비율을 어떻게 구분할까요?

SAT Math 표에서 숫자가 계속 커진다고 모두 exponential relationship은 아닙니다. 입력이 같은 간격으로 늘어날 때 출력이 같은 양만큼 늘면 linear relationship이고, 같은 배수로 변하면 exponential relationship입니다. 차이와 비율을 구분하지 않으면 표는 물론 식과 문맥에서도 모델을 반대로 고르기 쉽습니다.

업그레이드캠퍼스 교육 연구팀은 이 문제를 입력 간격 확인 → 출력의 차이 확인 → 출력의 비율 확인 → 식의 계수 해석 → 문맥에서 단위 붙이기 순서로 풉니다. College Board의 SAT Math Specifications는 linear representation을 Algebra에, exponential equation과 nonlinear function을 Advanced Math에 포함하고, Problem-Solving and Data Analysis에서도 linear growth와 exponential growth의 비교를 다룹니다. 이 글에서는 세 영역을 오가며 같은 관계를 식·표·문맥으로 읽습니다.

같은 입력 간격부터 확인하세요

출력의 차이나 비율을 비교하기 전, x의 간격부터 봅니다. x가 0, 1, 2, 3처럼 1씩 늘어나는 표에서는 인접한 출력끼리 바로 비교할 수 있습니다. x가 0, 2, 5처럼 간격이 다르면 출력 변화도 서로 다른 기간에 걸친 값이므로, 차이나 비율만 나란히 놓고 같은 변화라고 단정할 수 없습니다.

표를 보면 첫 줄에 입력 간격을 적으세요.

확인	질문	기록
입력	x가 몇씩 늘어나는가	Δx
선형 후보	같은 Δx마다 y가 같은 양만큼 변하는가	Δy
지수 후보	같은 Δx마다 y에 같은 배수가 곱해지는가	다음 y ÷ 이전 y

모델은 계속 증가한다, 처음보다 커졌다 같은 설명만으로 결정할 수 없습니다. 선형도 지수도 증가할 수 있습니다. 같은 입력 간격에서 증가량이 일정한지, 성장 배수가 일정한지를 계산해야 합니다.

Linear Relationship은 같은 양이 더해집니다

x가 1씩 늘 때 y가 매번 15씩 늘어난다면 linear relationship입니다. 표의 연속한 출력에서 뒤의 값에서 앞의 값을 뺀 결과가 일정합니다. 이 일정한 차이가 rate of change이며, y = a + bx 형태에서는 b가 x가 1 늘 때 y가 변하는 양입니다.

예를 들어 다음 표를 보세요.

x	0	1	2	3
y	100	115	130	145

출력의 차이는 모두 15입니다. x가 0일 때 y가 100이고, 한 단계마다 15가 더해지므로 y = 100 + 15x로 나타낼 수 있습니다. 여기서 15는 15%가 아니라 출력의 단위로 15만큼 변한다는 뜻입니다.

문맥이 원이라면 매 단계 15원, 사람이면 15명, 거리라면 15km처럼 단위가 붙습니다. 15만큼 증가와 15% 증가를 바꾸어 쓰지 마세요. 기준값이 달라져도 같은 양을 더하는 모델이 선형입니다.

Exponential Relationship은 같은 배수가 곱해집니다

x가 1씩 늘 때 y가 매번 1.15배가 된다면 exponential relationship입니다. 연속한 출력의 비율, 즉 다음 y ÷ 이전 y가 일정합니다. y = a · b^x 형태에서는 a가 x=0일 때의 시작값이고 b가 한 단계의 growth factor입니다.

다음 표에서는 출력의 차이가 일정하지 않습니다.

x	0	1	2	3
y	100	115	132.25	152.0875

차이는 15, 17.25, 19.8375로 달라지지만 비율은 매번 1.15입니다. 따라서 식은 y = 100(1.15)^x입니다. 값이 커질수록 같은 15%가 더 큰 양을 만들기 때문에 증가량은 일정하지 않습니다.

growth factor 1.15는 한 단계마다 15% 증가한다는 뜻입니다. 증가율 r을 소수로 쓸 때 factor는 1+r입니다. 15% 감소라면 1-0.15=0.85를 사용합니다. 양의 증가량 15를 식에 더하는 선형 모델과 factor 1.15를 곱하는 지수 모델을 같은 계수로 보지 마세요.

두 표를 나란히 놓으면 차이가 보입니다

두 모델 모두 100에서 시작해 첫 단계에서 115가 되지만 그다음부터 값이 갈립니다.

x	선형 100+15x	지수 100(1.15)^x
0	100	100
1	115	115
2	130	132.25
3	145	152.0875

첫 두 점만 보면 두 식을 구분하기 어렵습니다. 세 번째 이상의 값이나 관계를 설명하는 문장이 필요합니다. 선형은 같은 입력 간격마다 일정한 차이, 지수는 일정한 비율을 유지합니다.

그래프에서도 선형 함수는 일정한 slope를 가진 직선으로 나타납니다. 지수 함수는 같은 배수 변화 때문에 일반적으로 곡선이 됩니다. 다만 작은 구간의 그림만 보고 모양을 추측하기보다, 좌표의 차이와 비율 또는 주어진 식을 확인하는 편이 안전합니다.

식에서는 시작값과 변화 방식을 따로 읽으세요

y = 80 + 12x와 y = 80(1.12)^x는 둘 다 80에서 시작하지만 변화 방식이 다릅니다. 첫 식은 x가 1 늘 때 y에 12가 더해집니다. 두 번째 식은 x가 1 늘 때 y에 1.12가 곱해져 12% 증가합니다.

식의 각 부분을 다음처럼 번역하세요.

식의 부분	선형 a+bx	지수 a·b^x
a	x=0일 때 시작값	x=0일 때 시작값
변화 계수	b만큼 더함	b배를 곱함
한 단계 뒤	a+b	a·b
모델 확인	일정한 차이	일정한 비율

지수식에서 b 자체를 percent로 읽지 않습니다. b가 1.12라면 증가율은 0.12, 즉 12%입니다. b가 0.88이라면 매 단계 0.88배가 되고 12% 감소합니다. factor가 1보다 큰지 작은지 확인하면 증가와 감소 방향을 빠르게 판단할 수 있습니다.

문맥의 ‘매번’이 무엇을 뜻하는지 보세요

문장에 every year, each month, per hour가 나오면 그 시간 단위가 x의 한 단계인지 확인합니다. 매년 500명이 늘어난다는 같은 양이 더해지는 선형 설명입니다. 매년 8%씩 늘어난다는 이전 값의 1.08배가 되는 지수 설명입니다.

doubles every 3 years처럼 변화 간격이 3년이면 한 단계가 3년일 수 있습니다. x를 1년 단위로 정의한 식에서는 factor를 그대로 2로 놓을 수 없습니다. 문제의 x가 몇 년을 뜻하는지, 지수가 어떤 단위를 세는지 먼저 확인해야 합니다.

초기 비용에 매달 같은 금액을 더하는지, 잔액에 같은 percent가 적용되는지도 구분합니다. 다음 단어만 보고 모델을 결정하지 마세요.

• increase는 선형과 지수 모두에 쓰일 수 있습니다.
• rate도 단위당 양인지 percent인지 확인해야 합니다.
• constant는 일정한 차이인지 일정한 비율인지 뒤의 명사를 봐야 합니다.
• percent가 같은 기간마다 이전 값에 적용되면 지수 모델을 의심합니다.

문맥의 동사를 식으로 옮기기 전, 단위와 기준값을 적어 두면 모델을 고르기 쉽습니다.

증가율과 증가량을 같은 답으로 쓰지 마세요

선형 표에서는 증가량을 구할 때 출력을 뺍니다. 지수 표에서는 growth factor를 구하려면 출력을 나눕니다. factor에서 1을 빼면 decimal growth rate가 되고, 여기에 100%를 곱하면 percent increase입니다.

예를 들어 200에서 230으로 변했다면 증가량은 30, factor는 1.15, percent increase는 15%입니다. 세 값은 같은 변화를 서로 다른 방식으로 설명하지만 질문이 요구하는 답은 다를 수 있습니다.

묻는 값	계산	예시 결과
증가량	230-200	30
Growth factor	230÷200	1.15
Percent increase	(230-200)÷200×100%	15%

문제에서 by how much, by what factor, what percent 가운데 무엇을 묻는지 표시하세요. 계산이 맞아도 단위나 표현이 다르면 요구한 값에 답하지 못할 수 있습니다.

표의 간격이 2라면 2단계 변화로 읽습니다

x가 0, 2, 4처럼 2씩 늘어나는 표에서 y의 비율이 1.21이라면 이 1.21은 x가 2 늘 때의 factor입니다. x가 1 늘 때의 factor를 묻는다면 2단계 factor와 같은 값으로 적을 수 없습니다. 문제에서 요구한 단위에 맞게 변환해야 합니다.

선형 관계도 같습니다. x가 2 늘 때 y가 10 늘면 x가 1 늘 때의 rate of change는 5입니다. 표의 인접 칸 변화와 한 단위 변화가 같은지 항상 확인하세요.

SAT에서는 계산 자체보다 계수와 단위의 해석을 묻기도 합니다. 한 칸마다라는 말 대신 x가 얼마 변할 때라고 적으면 입력 간격을 놓치지 않습니다.

Student Question Bank에서는 Skill을 나눠 연습하세요

College Board의 Student Question Bank는 assessment, section, domain, skill, difficulty로 문제를 좁힐 수 있습니다. 선형 관계를 연습할 때는 Algebra의 linear functions와 linear equations를 확인하고, 지수 관계는 Advanced Math의 nonlinear functions를 봅니다. 데이터 문맥에서 두 모델을 비교하는 문제는 Problem-Solving and Data Analysis의 설명도 함께 확인하세요.

한 세트에서 식만 풀지 말고 표현을 바꿔 연습합니다.

1. 표에서 일정한 차이와 일정한 비율을 찾습니다.
2. 식에서 시작값과 변화 계수를 설명합니다.
3. 그래프의 두 점 이상을 보고 rate 또는 factor를 확인합니다.
4. 문맥에 단위를 붙여 증가량과 percent를 구분합니다.

오답 기록에는 선형/지수 혼동이라고만 쓰지 마세요. 입력 간격을 보지 않았는지, 차이 대신 비율을 구했는지, factor를 percent로 그대로 읽었는지, 한 단계의 단위를 놓쳤는지 적습니다. 다음 문제에서 확인할 행동이 분명해집니다.

풀이를 다섯 줄로 닫으세요

linear relationship과 exponential relationship을 구분하는 풀이에는 긴 설명이 필요하지 않습니다. 다음 다섯 줄이면 검산까지 할 수 있습니다.

1. x의 간격: Δx = __
2. y의 차이: __ , __ , __
3. y의 비율: __ , __ , __
4. 모델과 식: linear / exponential, y = __
5. 계수의 뜻: x가 __ 늘 때 y가 __만큼 / __% 변함

차이가 일정하면 선형이고 비율이 일정하면 지수라는 결론만 외우지는 마세요. 두 검사를 하기 전에 입력 간격을 확인하고, 식의 계수를 문맥의 단위로 설명해야 합니다. 같은 표를 차이, 비율, 식, 문장으로 네 번 읽어 보면 모델을 고르는 근거가 눈에 보입니다.

공식 출처

• College Board, Math Specifications: https://satsuite.collegeboard.org/k12-educators/about/alignment/math
• College Board, Advanced Math: https://satsuite.collegeboard.org/sat/whats-on-the-test/math/types/advanced
• College Board, Student Question Bank: Math Questions: https://satsuite.collegeboard.org/practice/student-question-bank/math
• College Board, How to Use the Student Question Bank: https://satsuite.collegeboard.org/practice/student-question-bank
• College Board, The Math Section: Overview: https://satsuite.collegeboard.org/sat/whats-on-the-test/math/overview